L'ORIGINE DELLA GEOMETRIA(*)

di Carlo Frison

Le forme geometriche regolari dei siti preistorici europei, terre di provenienza degli achei migrati fino alle coste mediterranee, sono le premesse della geometria di Euclide. Dalla geometria preistorica derivano anche le forme circolari rilevabili in aree sacre e grandi abitati padani dell'età del ferro, che dimostrano l'interesse per le procedure di disegno geometrico indipendentemente dalla progettazione dei siti per le osservazioni astronomiche.

Parlando di geometria dovremmo tener presente che un triangolo disegnato da un greco (antico) ha molti più significati di quello disegnato da un'altra persona di un qualunque altro popolo. Non sono entrambi disegni "geometrici": la vera geometria è soltanto greca. La geometria è il procedimento di dimostrazione delle proprietà delle figure con soli ragionamenti, senza aritmetica. Trovare qualche terna di numeri interi di lati di triangoli rettangoli - a questo si limitavano gli egizi e i babilonesi - non è la stessa cosa di generalizzare per tutti i triangoli rettangoli la relazione tra i lati con ragionamenti e senza calcoli, come realizza il teorema di Pitagora. Il procedimento specifico della geometria appartiene unicamente alla filosofia (non dovrebbe essere necessario specificare filosofia greca). Per fare un esempio, gli indiani hanno inventato lo zero e la notazione posizionale dei numeri, hanno dato un grande impulso allo sviluppo dell'algebra, hanno introdotto la funzione del seno al posto dell'arco usato dai greci, ma non si sono applicati nella geometria. La domanda è dunque: Qual è l'origine della geometria? È stata creata al tempo dei primi filosofi, o ha premesse più antiche?

Fig. 1 - Pianta del sito neolitico di Osterhofen-Schmiedorf, Bassa Baviera. Rilievo dei fossati dell'area dell'abitato di forma irregolarmente ovale di 320 x 260 m, entro cui sono due aree circolari probabilmente cultuali. (da: Becker)


Tra le specificità della civiltà greca, che la differenziano da quelle del Vicino Oriente, spiccano i poemi omerici, espressivi di caratteri che preludono alla grecità ma provenienti da una civiltà arcaica di terre lontane dalle sponde del Mediterraneo. Una nuova teoria sulla provenienza degli achei, proposta nel 1993 da Felice Vinci e successivamente arricchita di nuove argomentazioni (1), afferma che il reale scenario dell'Iliade e dell'Odissea sia identificabile nell'Europa settentrionale, dove il periodo di migliori condizioni climatiche del II millennio a.C. consentì la fioritura di una splendida età del bronzo. Questa teoria interessa la domanda posta all'inizio, perché il nord Europa è stato sede di una grande cultura contraddistinta da siti di geometria spesso regolare, soprattutto rotondeggiante. I più antichi, risalenti al V millennio a.C., sono stati individuati negli ultimi quarant'anni in Germania con la ricognizione aerea e la prospezione magnetica delle tracce lasciate dalle palificate e dai fossati; di cui riporto un esempio (fig. 1) dalla Bassa Baviera (2).

Fig. 2 - Ricostruzioni geometriche dei perimetri di alcuni siti preistorici scozzesi e inglesi proposte da A. Thom. a) Merry Maidens; b) Barbrook I; c) Esslie The Greater; d) Burgh Hill; e) Kerry Hill. Ogni anello ha mediamente il diametro di una quindicina di metri. (da: Ruggles).



Le forme più interessanti dei siti sono quelle con almeno un asse di simmetria. L'archeoastronomo Alexander Thom ha studiato matematicamente gli anelli litici delle isole britanniche, ricavando cerchi, ellissi e figure policentriche ovali o a cerchio schiacciato tracciate, secondo la sua ipotesi, combinando il movimento di più corde attorno a più fulcri (fig. 2). Le ricostruzioni escogitate da Thom sono state sottoposte a critiche, giudicando che la forma rotondeggiante sia stata ottenuta semplicemente a occhio senza artifici geometrici di tracciatura (3). Solamente alle forme veramente circolari e ellittiche non è negata l'origine intenzionale. Questa critica è comprensibile per gli anelli di modeste dimensioni; ma dove si riscontrano assi di simmetria di diverse decine di metri di lunghezza è giocoforza ammettere qualche procedura di costruzione delle curvature.

Fig. 3 - Geometria del cerchio litico di Tre Camini (Como). Piattaforma centrale per metà lastricata e metà a terra di riporto. Anello perimetrale diviso in settori di 5° ciascuno. È ipotizzabile l'osservazione degli astri guardando dalla circonferenza verso un palo conficcato al centro della piattaforma. (da: Gaspani)



Gli anelli dei siti dell'Europa continentale non sono spettacolari quanto i più celebri megaliti inglesi. Quelli italiani sono così modesti che sono poco noti, e purtroppo poco riguardati dall'archeologia accademica italiana. Finalmente all'inizio del 2007 è stato scoperto un cerchio litico di grande diametro (69 m) in località Tre Camini a ovest di Como (fig. 3), formato da due giri concentrici di piccole pietre, distanziati di 1,8 m tra loro, e una piattaforma centrale di 27 m di diametro divisa in due semicerchi. L'anello tra i due cerchi di pietre è diviso in 72 settori distinguibili dal diverso colore di terre di riporto (4). La datazione del sito con i primi corredi funebri trovati all'esterno del cerchio risulta del VI-V secolo a.C., senza escludere che la costruzione litica sia più antica.
La funzione dei 72 settori, di circa 5° ciascuno, non pare essere stata quella dell'osservazione di particolari astri. L'insolita geometria di questo sito richiede qualche ipotesi nuova rispetto a quelle finora proposte in archeoastronomia. Sembra che il numero sia basato sul sistema dodecimale, risulti cioè dal conto di sei dozzine, che rispetto a quello decimale ha i calcoli facilitati, essendo multiplo di due, tre, quattro e sei. Perciò il cerchio poteva servire da grande goniometro per ricavare le distanze stellari. Per esempio, per misurare lo spostamento diurno della luna si poteva misurare con un regolo a balestra la distanza angolare tra due stelle avvicinate dalla luna in due sere successive; e poi, portandosi al centro del cerchio litico, tenendo il regolo a balestra nella stessa posizione rispetto all'occhio, riportare sulla circonferenza l'arco misurato. Il valore della distanza angolare risultava dal rapporto tra il numero dei settori dell'arco misurato e i 72 settori della circonferenza. Per la precisione della misura, i settori sarebbero stati in qualche modo suddivisi in parti minori.
La supposizione di un antecedente da cui derivare il metodo di misura delle distanze stellari è appoggiabile sullo studio di Fred Hoyle sul cerchio di Aubrey di 56 buche in Stonehenge (5). Questo astronomo ha supposto che dei marcatori fossero spostati lungo le buche per segnare la posizioni del Sole, della Luna e del nodo dell'orbita lunare; quello del Sole di due buche ogni tre giorni, quello della Luna di due buche ogni giorno e quello dei nodi di tre buche ogni anno in senso contrario allo spostamento dei marcatori dei due astri. Pur avendo bisogno di correzioni frequenti, questi spostamenti avrebbero permesso la previsione delle eclissi al verificarsi dell'allineamento dei tre marcatori. È evidente che questo metodo contiene la misurazione delle distanze angolari tra gli astri.


Fig. 4 - Padova protostorica. Le linee punteggiate evidenziano la pianificazione delle strade disposte su archi concentrici. Numerosi ritrovamenti di età paleoveneta e romana confermano l'origine antica dell'impianto viario. Il punto C è il centro delle circonferenze. Gli archi sono compresi in un angolo di 60°.

Il cerchio di Tre Camini è una testimonianza archeologica eccezionale dell'interesse dei popoli padani per la geometria, e avalla la ricostruzione del perimetro circolare di Milano celtica ripartito in archi di 20° (6). Altre forme rotondeggianti protostoriche molto evidenti conservate nell'urbanistica moderna si trovano nelle città di Padova e Vicenza. Nel quartiere più antico di Padova (fig. 4), si rileva un arco formato dalla via Altinate e dalla riviera san Mattia (lungo un canale tombinato nell'Ottocento) di angolo al centro di 60°. Altri tratti stradali arcuati, tra via Altinate e via san Francesco, sono su circonferenze concentriche (7). Nel caso di Vicenza - limitandosi a quanto riguarda l'argomento in trattazione - si rileva parzialmente un cerchio con due assi di simmetria disposti nelle direzioni cardinali (8).

Mettendo insieme questi tre casi di ampiezza dell'angolo - di 5° a Tre Camini, di 20° a Milano e di 60° a Padova - si induce che il criterio di misurazione degli angoli era la divisione del cerchio in parti uguali di archi (o delle loro corde). Questo rivela un interesse per la geometria come pura attività intellettuale, al di là della sua connessione con la misurazione delle posizioni degli astri e della concezione religiosa del templum celeste come sede degli Dèi. La progettazione di queste città aveva alle spalle la plurimillenaria tradizione europea delle forme geometriche regolari dei siti, che non ha paragoni nella preistoria di qualsiasi altro continente. Se, dunque, pensiamo di cercare le premesse della geometria greca, non abbiamo altra scelta che valerci della teoria di Felice Vinci. È probabile che gli achei discesi dal nord Europa abbiano portato sulle sponde del Mediterraneo, oltre ai loro miti e leggende, anche le loro tecniche di disegno di figure geometriche. La tracciatura dei grandi perimetri degli abitati e delle aree sacre avrà richiesto diuturni esercizi di disegno delle figure ottenibili con compasso e regolo; senza la necessità di fare continui calcoli aritmetici sulle dimensioni. Per esempio, non è immaginabile che nella preistoria si facessero delle operazioni aritmetiche su un cerchio schiacciato. Piuttosto, si sarà considerato l'ampiezza dell'angolo al centro degli archi. Il problema sarà stato affrontato col trasporto di misure col compasso, metodo di cui sono tarda testimonianza i famosi graffiti detti rosa camuna e sole delle Alpi dell'età del ferro. Questi disegni con regolo e compasso richiedono una tecnica concettualmente simile ai processi dalle dimostrazioni dei teoremi della geometria. Il confronto tra gli angoli, che è il compito fondamentale dei teoremi, avrebbe origine dalla progettazione delle forme dei siti preistorici. Definizioni, postulati, teoremi e dimostrazioni sono frutto dell'analisi filosofica della costruzione delle figure geometriche, analisi che nella storia della matematica antica è stata l'alternativa greca all'algebra derivata dall'aritmetica, potendosi risolvere le equazioni o geometricamente o algebricamente. La peculiare predilezione delle culture europee preistoriche per le forme geometriche rotondeggianti regolari è il miglior indizio per riconoscere l'origine del processo che ha portato agli Elementi di Euclide.

Note
(*) Pubblicato in "Bollettino. Gruppo Astrofili di Padova", n. 41 (2008).

(1) F. Vinci, Omero nel Baltico, Palombi editori, Roma 2003.
(2) H. Becker, Mittelneolithische Kreisgrabenanlagen in Niederbayern und ihre Interpretation auf Grund von Luftbildern und Bodenmagnetik, "Vorträge 8. Niederbayerischer Archäologentag", 139-176, Deggendorf 1990.
(3) J. D. Patrick, C. S. Wallace, Stone circle geometries: an information Theory aproach, in D. C. Heggie (edited by), Archaeoastronomy in the Old World, C.U.P., Cambridge 1982, pp. 231-264.
C. Ruggles, Astronomy in Prehistoric Britain and Ireland, Yale University 1999, p. 82-83.
(4) A. Gaspani, Geometria e astronomia nel sito golasecchiano di Tre Camini a Como, in "Terra Insubre", n 46 (2008).
(5) F. Hoyle, Stonehenge - an eclipse predictor", in "Nature", july 30. 1966, pp. 454-456.
(6) C. Frison, Studio geometrico del perimetro circolare della Milano celtica, in "Terra Insubre" n. 43 (2007). (riportato in queto sito internet)
(7) C. Frison, Padova Protostorica, in "Padova e il suo territorio", n. 23 (1990). (rivisto e riportato in queto sito internet nell'articolo sul Pagus Ruthena)
(8) C. Frison, Archeoastronomia nelle città padane, in "Astronomia", UAI, n. 5 (2001).(rivisto e riportato in queto sito internet)


Ottobre 2008
Ultima revisione: 16 gennaio 2009.